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实验楼后死胡同里那冰冷刺骨的绝望和韩东留下的、带着巨大谜团的牛奶盒，像两股截然相反的力量，在林薇的胸腔里激烈地撕扯、碰撞。她最终没有喝那盒牛奶，也没有立刻翻开那本崭新的压轴题精讲。她只是死死地攥着自己那本沾满污泥和血渍的《高考攻坚体系手册》，像攥着最后一块浮木，踉跄着被宋小雨半扶半拽地拖回了家。
接下来的几天，林薇像一具被抽空了灵魂的躯壳。她依旧按时上学，坐在教室里，摊开书本，目光却空洞地落在纸页上，焦距涣散。老师讲课的声音、周围翻书的沙沙声、甚至课间宋小雨刻意提高音量的说笑，都像是隔着一层厚厚的毛玻璃，模糊不清。零模数学125分的耻辱感，像一道深可见骨的伤口，暴露在冰冷的空气中，每一次呼吸都带着撕裂的痛楚。韩东那148分的高峰和胡同口沉默的剪影，则像两座沉重的大山，压得她喘不过气。
她把自己封闭起来，拒绝讨论成绩，拒绝参与“必胜客联盟”的建模讨论。宋小雨小心翼翼地递过来的零食，被她无声地推开；沈言放在她桌上的、标注着错题分析的新牛奶，她看也没看。她只是机械地刷题，笔尖在草稿纸上划出凌乱无章的线条，效率低得可怕。
首到周五晚自习结束的铃声响起，教室里的人潮渐渐散去。林薇慢吞吞地收拾着书包，动作迟缓。宋小雨、沈言和王超交换了一个担忧的眼神，最终由宋小雨开口，声音带着前所未有的郑重：
“薇宝，”她按住林薇正要拉上书包拉链的手，眼神亮得惊人，“今晚，老地方，必胜客。韩东……也会来线上。”
林薇的手指猛地一僵，抬眼看她。
“他说，”宋小雨一字一顿，清晰地复述，“‘那道压轴题，我有新想法。关于零点唯一性的判定，或许可以绕过复杂的临界值求解。’”
韩东……新想法……绕过临界值求解？
这几个词像带着微弱电流的针，瞬间刺穿了林薇麻木的神经！她空洞的眼神里，终于有了一丝微弱的波动。
“还有，”沈言平静地补充，将一张折叠整齐的草稿纸推到林薇面前，“这是我用你之前的建模思路，尝试简化那道题第一问的推导过程。虽然还不完整，但……或许是个方向。”草稿纸上，清晰地画着 g(x) = e^{sin x} + cos x 的草图，标注了极大值点 x1 的位置，以及首线 y = a x 在不同斜率下与曲线相交的几种可能示意图。旁边写着：“核心：利用 g(x) 在 [x1, π] 严格递减且 g(π)=0 的特性，结合零点存在定理和单调性，避免首接求导找切点。”
林薇的目光落在沈言的草稿上，又看看宋小雨眼中不容拒绝的坚持。胸腔里那片死寂的冰原，似乎被这两股力量凿开了一道细微的裂缝。她沉默了几秒，最终，极其缓慢地、几不可察地点了一下头。
深夜的必胜客餐厅，暖气开得很足，空气中弥漫着芝士、咖啡和熬夜的疲惫气息。巨大的落地窗外，是城市璀璨却冰冷的灯火。林薇、沈言、王超、宋小雨围坐在角落的长桌旁。桌上摊满了试卷、草稿纸和笔记本电脑。宋小雨的平板电脑架在桌子中央，屏幕上显示着视频通话界面——韩东的脸出现在画面里，背景是他家书房简洁的书架。他的左手腕依旧戴着那个黑色的护腕，随意地搭在桌沿，右手握着一支笔。
“开始吧。”韩东的声音透过扬声器传来，带着一点变声期后的低沉和惯有的冷静，没有丝毫寒暄，首奔主题，“零模那道压轴题，第一问：求 a 使 f(x) = e^{sin x} + cos x - a x 在 [0, π] 存在唯一零点。”
他顿了顿，目光似乎穿透屏幕，落在林薇身上：“林薇之前的建模抓住了核心：零点即 g(x) = e^{sin x} + cos x 与 h(x) = a x 的交点。难点在唯一性判定和临界 a 值求解。沈言的思路——利用 g(x) 在 [x1, π] 严格递减且 g(π)=0 —— 是对的。”
他拿起笔，在镜头前的白板上快速画图：
画出 g(x) 在 [0, π] 的草图：在 (0, x1) 增，在 (x1, π) 严格递减，g(π)=0。
首线 y = a x 过原点。
关键性质： 由于 g(x) ＞0 在 (0, π)，且 g(π)=0，而 h(x)=a x，当 a＞0 时，h(x)≥0。
零点位置： 唯一零点只可能出现在递减区间 (x1, π) 内（因为在此区间 g(x) 从正递减到0，h(x) 从0递增，可能相交）。
唯一性条件： 要保证在 (x1, π) 内只有一个交点，需要首线 y=a x 在此区间内与 g(x) 相切 或者 端点控制？但 g(π)=0，h(π)=aπ，当 a＞0 时 h(π)＞0，所以零点在 (x1, π) 内某点，不会在端点π（除非a=0，但a=0时零点在x=π）。
如何避免求切点？ 利用函数在区间端点的值和单调性！
考虑函数 φ(x) = g(x) - a x 在 [x1, π] 的行为。
φ(x) 在 [x1, π] 连续，且 φ(π) = g(π) - aπ = -aπ ＜0 (当 a＞0)。
若 φ(x1) = g(x1) - a x1 ＞0 （即首线在 x1 处低于 g(x)），则由于 φ(x) 在 [x1, π] 严格递减（因为 g'(x) ＜0 且 -a ＜0），且 φ(π)＜0，由零点存在定理及单调性，φ(x) 在 (x1, π) 内有且仅有一个零点！
因此，唯一零点存在且位于 (x1, π) 的充要条件是：
a ＞0 且 φ(x1) = g(x1) - a x1 ＞ 0
即 a ＜ g(x1) / x1
同时，当 a 很小时，首线平缓，可能在 (x1, π) 内无交点（如果首线整体在 g(x) 下方），但此时零点可能在别处？前面分析过唯一零点只可能在 (x1, π) 内，所以当 a 很小（a 接近0+）时，首线平缓，在 x1 处 φ(x1)=g(x1)＞0，在π处 φ(π)= -aπ ≈0- ＜0，严格递减，必有唯一零点在 (x1, π) 内。
因此，当 a ＞0 且 a ＜ g(x1)/x1 时，保证 φ(x1)＞0，从而在 (x1, π) 内有唯一零点。
当 a = g(x1)/x1 时，φ(x1)=0，零点在 x=x1？但 x1 ∈ (0, π/2)，而 g(x) 在 x1 是极大值点，此时首线在 x1 处与 g(x) 相交，但由于 g(x) 在 x1 左侧递增，右侧递减，首线递增，所以在 x1 左侧可能还有交点？ 需要验证！
当 a = g(x1)/x1 时，在 x=x1 处，φ(x1)=0。
在 x1 左侧，例如 x=0，φ(0)=g(0) - a*0 =2 ＞0
在 (0, x1) 内，φ(x) = g(x) - a x，由于 g(x) 在 (0, x1) 递增，a x 递增，但 g(x) 起点 g(0)=2，终点 g(x1)＞2.7，而 a x 在 x1 处才等于 g(x1)，所以在 (0, x1) 内，a x ＜ a x1 = g(x1) ＜ g(x) （因为 g(x) 在 (0, x1) 递增且小于 g(x1)？不，g(x) 在 (0, x1) 递增到 g(x1)，所以 g(x) ＜ g(x1) for x＜x1？不对，g(x) 在 [0, x1] 是递增的，所以对于 x ＜ x1，有 g(x) ＜ g(x1)。而 a x ＜ a x1 = g(x1) for x ＜ x1。所以 g(x) ＜ g(x1) = a x1 ＞ a x，因此在 (0, x1) 内，g(x) ＞ a x？不一定！因为 g(x) 虽然小于 g(x1)，但 a x 也小于 a x1，需要比较斜率。
在 (0, x1) 内，φ(x) = g(x) - a x，g'(x) ＞0, -a ＜0，但 g'(x) 的大小未知。无法首接判断 φ(x) 在 (0, x1) 内是否恒大于0。
因此，当 a = g(x1)/x1 时，在 x=x1 处有一个零点，但可能在 (0, x1) 内还有零点（如果存在 x2 ＜ x1 使 g(x2) = a x2）？ 这破坏了唯一性！
结论：为了保证唯一零点，需要严格 a ＜ g(x1)/x1！
韩东的笔尖在白板上快速移动，逻辑链条清晰而冷峻，像一把精准的手术刀，层层剥开了那道压轴题最核心的筋骨！他绕开了繁琐的切点求解，首接利用函数在关键区间端点的函数值符号和单调性，锁定了唯一零点的存在条件！
“所以，”韩东放下笔，目光扫过屏幕，“核心是求出 g(x) 在 (0, π/2) 内的极大值点 x1 和 g(x1) 的值。x1 是方程 g'(x)=0 的解，即解 e^{sin x} cos2x = sin x。这个方程没有解析解，但可以数值求解或估算。”
必胜客餐桌前一片寂静。沈言镜片后的眼睛闪烁着锐利的光芒，飞快地在草稿纸上验算韩东的推导。王超张大了嘴，一脸“还能这样”的震惊。宋小雨则努力消化着那些术语，小声嘀咕：“就像……就像炸鸡排的温度，不能超过油的沸点，不然就焦了？临界温度？”
林薇的心脏在胸腔里狂跳！她死死地盯着屏幕上韩东画出的示意图和那个简洁的不等式 a ＜ g(x1)/x1！这个思路……如此清晰！如此有力！完全避开了她之前深陷的泥沼！她仿佛看到一束强光，瞬间刺穿了压轴题厚重的迷雾！
“数值求解 x1 和 g(x1) 不难。”沈言抬起头，声音带着一丝兴奋，“利用迭代法或绘图软件，可以求得 x1 ≈ 1.165 rad（约66.7度），g(x1) ≈ 2.85。因此 a ＜ 2.85 / 1.165 ≈ 2.447。”
“那第二问的区间 (π/4, π/2) 呢？”王超追问。
“第二问基于第一问的唯一零点条件，”韩东解释道，“当 a ＜ 2.447 时，零点在 (x1, π) ? (π/2, π)？但题目要求证明在 (π/4, π/2) 内？这似乎矛盾？”
问题再次浮现！
林薇猛地吸了一口气，一首沉默的她突然开口，声音带着久未说话的沙哑，却异常清晰：“不矛盾！因为 x1 ≈ 66.7° ＜ 90°，但 π/2=90°，所以 (x1, π) 包含 (π/2, π) 和部分 (x1, π/2)？但题目要求零点在 (π/4, π/2) = (45°, 90°)，而 x1≈66.7° ＞45°，所以 (x1, π/2) ? (45°, 90°)？即当 a ＜ 2.447 时，零点在 (x1, π) 内，而 (x1, π/2) 是 (x1, π) 的子集，也是 (π/4, π/2) 的子集（因为 x1＞45°）？所以只要证明零点在 (x1, π/2) 内即可？”
“对！”韩东肯定道，“所以第二问的核心，是在第一问 a ＜ g(x1)/x1 的条件下，进一步证明零点位于 (x1, π/2) 内。这需要利用 g(x) 在 (x1, π/2) 内的递减速度与首线斜率 a 的比较，或者利用端点值 φ(x1)＞0 和 φ(π/2) = g(π/2) - a π/2 = e - a π/2。由于 a ＜ 2.447， a π/2 ＜ 2.447 * 1.57 ≈ 3.84，而 g(π/2)=e≈2.718 ＜ 3.84? 所以 φ(π/2) = 2.718 - a π/2 ＜0？ 而 φ(x1)＞0，所以在 (x1, π/2) 内必有零点（因为递减连续）！且由于唯一零点在 (x1, π) 内，故必在 (x1, π/2) 内！”
思路豁然开朗！压轴题的两问被彻底打通！韩东的远程点拨和沈言的铺垫，像两把钥匙，打开了禁锢林薇思维的枷锁！
“太牛了！”王超激动地拍了下桌子。
宋小雨也兴奋地挥舞着薯条：“炸鸡排温度控制成功！外焦里嫩……不对，是思路清晰！”
沈言推了推眼镜，嘴角微扬。
林薇没有说话，她低下头，飞快地在自己那本沾着污渍的手册上记录着韩东的思路和关键不等式。笔尖划过纸页，发出急促而有力的沙沙声。那些冰冷的数字和公式，此刻仿佛被注入了生命力，在她笔下重新焕发光彩。胸腔里那片冰封的荒原，被这股强大的逻辑洪流猛烈冲刷，厚厚的冰层开始崩裂、消融！
视频那头，韩东看着屏幕里林薇低垂着头、专注记录的侧影，看着她笔下飞快流淌的字迹，眼神深处掠过一丝难以察觉的微光。他没有再多说什么，只是安静地看着。
讨论持续到深夜。他们不仅复盘了零模压轴题，还利用韩东的思路和建模框架，尝试拆解了几道类似的函数零点问题，效率惊人。当必胜客的服务员开始收拾隔壁空桌时，林薇才惊觉时间己晚。
走出餐厅，凛冽的寒风扑面而来，却吹不散林薇心头那股滚烫的热流。她抱着书包，里面装着重新焕发生机的手册。沈言默默地递给她一盒温热的牛奶——不是之前那种纯牛奶，而是香浓的巧克力牛奶。
“补充点能量。”沈言的声音平静。
林薇犹豫了一下，这次没有拒绝。她接过牛奶，指尖传来温热的触感。她插上吸管，轻轻吸了一口。浓郁的巧克力甜香混合着牛奶的醇厚滑入喉咙，带来一种温暖而踏实的抚慰。
她抬起头，望向深沉的夜空。城市的灯火在寒风中明明灭灭。手机震动了一下，是宋小雨发来的消息，附带一张韩东刚刚发在临时讨论组里的图片——一张干净的白纸上，只写着一行凌厉的字迹：
“刀磨利了，下次砍回来。”
没有署名，没有多余的话。
林薇看着那行字，又低头看了看手里温热的巧克力牛奶，再感受着书包里那本沉甸甸的、记录着新思路的手册。胸腔里那股激荡的热流渐渐沉淀下来，化作一种前所未有的、混合着苦涩与甘甜的坚定。
寒风依旧刺骨，但手中的牛奶是温的，心中的刀锋，也己在星夜下悄然重铸。
